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Calcul du champ magnétique
1. Introduction
Les champs magnétiques sont omniprésents dans le monde physique et jouent un rôle crucial dans de nombreux phénomènes, depuis le comportement des particules élémentaires jusqu'au fonctionnement des dispositifs électriques de grande envergure. Comprendre comment calculer les champs magnétiques est fondamental en physique, en ingénierie et dans de nombreuses sciences appliquées. Ce texte explore les principes, les formules et les méthodes de calcul des champs magnétiques dans différents contextes.
2. Concepts de base
2.1 Vecteurs du champ magnétique
Le champ magnétique est un champ vectoriel, ce qui signifie qu'en tout point de l'espace, il possède une direction et une intensité bien définies. On utilise généralement deux vecteurs principaux pour décrire les champs magnétiques : l'induction magnétique et l'intensité du champ magnétique .
- Densité de flux magnétique ( ) : Elle représente la force par unité de longueur parcourue par un courant, agissant sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique. L'unité SI de est le tesla (T), où .
- Intensité du champ magnétique ( ) : Il est lié au courant libre dans une région et sert à simplifier le calcul des champs magnétiques en présence de matériaux magnétiques. L'unité SI de est l'ampère par mètre (A/m). La relation entre et est donné par , où est la perméabilité magnétique du milieu. Dans le vide, .
2.2 Sources de champs magnétiques
Les courants électriques sont la principale source des champs magnétiques. Une charge en mouvement (courant) crée un champ magnétique autour d'elle. Il existe deux grands types de distribution de courant : les courants continus et les courants variables. Pour les courants continus, on peut utiliser la loi d'Ampère et la loi de Biot-Savart pour calculer le champ magnétique, tandis que pour les courants variables, il faut considérer la loi de Faraday sur l'induction électromagnétique et les équations de Maxwell.
3. Méthodes de calcul des courants permanents
3.1 Loi de Biot-Savart
La loi de Biot-Savart donne le champ magnétique produit par un élément de courant infinitésimal à un point dans l'espace. La formule est :
où est la perméabilité du vide, est le courant dans le fil, est le vecteur de longueur infinitésimale de l'élément courant, est le vecteur unitaire de l'élément courant au point d'intérêt, et est la distance entre l'élément courant et le point d'intérêt.
Pour déterminer le champ magnétique total En un point donné par un fil conducteur de longueur finie, on intègre l'expression ci-dessus sur toute la longueur du fil :
Exemple : Champ magnétique sur l'axe d'une boucle de courant circulaire
Considérons une boucle circulaire de rayon parcourue par un courant Nous voulons trouver le champ magnétique en un point sur l'axe de la boucle à une distance du centre de la boucle.
En utilisant la loi de Biot-Savart, pour un élément de courant infinitésimal sur la boucle, la distance a une magnitude (puisque est tangente à la boucle et est alignée sur la droite reliant l'élément au point ).
En intégrant autour de la boucle, on obtient :
Au centre de la boucle ( ), .
3.2 Loi d'Ampère
La loi d'Ampère stipule que l'intégrale de ligne du champ magnétique Le courant autour d'une boucle fermée est égal à fois le courant total entouré par la boucle :
La loi d'Ampère est très utile pour calculer les champs magnétiques dans des situations de haute symétrie, comme les longs fils droits, les solénoïdes et les tores.
Exemple : Champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde long et rectiligne
Un solénoïde est une longue bobine de fil. Pour un solénoïde idéal (infiniment long et de section uniforme), on peut utiliser la loi d'Ampère pour calculer le champ magnétique à l'intérieur.
On choisit une boucle ampérienne rectangulaire dont un côté intérieur est parallèle à l'axe du solénoïde, les autres côtés étant perpendiculaires à cet axe. Le champ magnétique extérieur au solénoïde est négligeable, et le champ magnétique intérieur est parallèle à l'axe.
Soit le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde et le courant dans le fil. Le courant total contenu dans la boucle d'Ampère est , où est la longueur du côté de la boucle à l'intérieur du solénoïde.
D'après la loi d'Ampère , nous pouvons résoudre pour :
4. Méthodes de calcul des courants variables dans le temps
4.1 Loi de Faraday sur l'induction électromagnétique
La loi de Faraday stipule que la force électromotrice ( ) induite dans une boucle fermée est égale à l'opposé du taux de variation du flux magnétique à travers la boucle :
où est le flux magnétique à travers la boucle, et est le vecteur d'aire infinitésimal de la boucle.
Cette loi est à la base de nombreux appareils électriques tels que les générateurs et les transformateurs.
4.2 Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations fondamentales qui décrivent le comportement des champs électriques et magnétiques. Concernant les champs magnétiques, deux des équations pertinentes sont :
- Loi de Gauss pour le magnétisme :
Cette équation stipule qu'il n'existe pas de monopôles magnétiques (charges magnétiques isolées) et que le flux magnétique net à travers toute surface fermée est nul. - Ampère - Loi de Maxwell :
Il s'agit d'une forme étendue de la loi d'Ampère, qui prend en compte le courant de déplacement , où est le flux électrique à travers la boucle ampérienne.
5. Champs magnétiques dans les matériaux magnétiques
Lorsqu'un matériau magnétique est placé dans un champ magnétique externe, le matériau s'aimante, et le champ magnétique total à l'intérieur du matériau est la somme du champ magnétique externe et du champ magnétique dû à l'aimantation du matériau.
L'aimantation Le moment magnétique d'un matériau est défini comme son moment magnétique par unité de volume. La relation entre , , et est .
Pour les matériaux magnétiques linéaires, , où est la susceptibilité magnétique du matériau. Alors , où est la perméabilité magnétique du matériau.
6. Méthodes numériques de calcul du champ magnétique
Dans les géométries complexes où les solutions analytiques sont difficiles ou impossibles à obtenir, les méthodes numériques telles que la méthode des éléments finis (MEF) et la méthode des éléments de frontière (MEF) sont largement utilisées.
6.1 Méthode des éléments finis (MEF)
La méthode des éléments finis (MEF) divise la région d'intérêt en un grand nombre de petits éléments (par exemple, des triangles ou des tétraèdres en 2D et 3D respectivement). Le champ magnétique est approché dans chaque élément à l'aide de fonctions simples (par exemple, des polynômes linéaires ou quadratiques). En appliquant les équations régissant le système (telles que les équations de Maxwell) à chaque élément et en imposant les conditions aux limites, on obtient un système d'équations linéaires, dont la résolution permet de déterminer la distribution du champ magnétique dans toute la région.
6.2 Méthode des éléments de frontière (MEF)
La méthode des éléments de frontière (MEF) repose sur la forme intégrale des équations régissant le système. Elle ne nécessite la discrétisation que des frontières du domaine, et non du volume entier. Ceci peut réduire le nombre d'inconnues par rapport à la méthode des éléments finis (MEF), notamment pour les problèmes impliquant des domaines infinis ou semi-infinis. Cependant, la MEF peut s'avérer plus complexe pour les problèmes avec des matériaux non linéaires ou des champs variables dans le temps.
7. Applications
7.1 Génie électrique
Dans les machines électriques telles que les moteurs, les générateurs et les transformateurs, le calcul précis des champs magnétiques est essentiel pour optimiser leurs performances et leur rendement, et réduire les pertes. Par exemple, dans un moteur, le champ magnétique interagit avec les conducteurs parcourus par le courant pour produire un couple ; la compréhension de la distribution du champ magnétique est donc indispensable pour concevoir la géométrie du moteur et la configuration de son enroulement.
7.2 Imagerie médicale
L'imagerie par résonance magnétique (IRM) est une technique d'imagerie médicale non invasive qui repose sur l'interaction des champs magnétiques avec les spins nucléaires des atomes du corps humain. Le calcul des champs magnétiques statiques et radiofréquences dans un appareil d'IRM est crucial pour obtenir des images de haute qualité et garantir la sécurité du patient.
7.3 Accélérateurs de particules
Dans les accélérateurs de particules, les champs magnétiques servent à guider et à focaliser les particules chargées le long de leur trajectoire. La conception et le calcul de ces champs magnétiques sont essentiels pour obtenir les propriétés souhaitées du faisceau de particules, telles que l'énergie, l'intensité et la divergence.
8. Conclusion
Le calcul des champs magnétiques est un aspect fondamental de l'électromagnétisme, avec de nombreuses applications dans divers domaines. Des principes de base de la loi de Biot-Savart et de la loi d'Ampère pour les courants continus aux équations de Maxwell plus complexes pour les champs variables, en passant par l'étude des matériaux magnétiques et des méthodes numériques, une compréhension approfondie du calcul des champs magnétiques est indispensable au progrès technologique et à la recherche scientifique. Avec l'évolution constante des technologies, de nouvelles méthodes et techniques de calcul et de manipulation des champs magnétiques verront probablement le jour, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives dans des domaines tels que l'informatique quantique, les nanotechnologies et l'exploration spatiale.
