حساب المجال المغناطيسي

1. المقدمة

المجالات المغناطيسية منتشرة في كل مكان في العالم المادي، وتلعب دورًا حاسمًا في ظواهر متنوعة، بدءًا من سلوك الجسيمات الأولية ووصولًا إلى تشغيل الأجهزة الكهربائية واسعة النطاق. يُعد فهم كيفية حساب المجالات المغناطيسية أمرًا أساسيًا في الفيزياء والهندسة والعديد من العلوم التطبيقية. سيتناول هذا النص مبادئ وصيغ وطرق حساب المجالات المغناطيسية في سيناريوهات مختلفة.

2. المفاهيم الأساسية

2.1 متجهات المجال المغناطيسي

المجال المغناطيسي مجال متجه، أي أنه عند كل نقطة في الفضاء، يوجد اتجاه ومقدار محددان جيدًا مرتبطان بالمجال المغناطيسي. نستخدم عادةً متجهين رئيسيين لوصف المجالات المغناطيسية: كثافة التدفق المغناطيسي (ب) وشدة المجال المغناطيسي H .

• كثافة التدفق المغناطيسي ( ب ) : يمثل القوة لكل وحدة طول تيار تؤثر على موصل يحمل تيارًا موضوعًا في مجال مغناطيسي. وحدة النظام الدولي للوحدات (SI) هي B هي تسلا (T)، حيث 1 T=1 N/(A⋅m) .
• شدة المجال المغناطيسي ( H ) : يرتبط بالتيار الحر في منطقة ما، ويُستخدم لتبسيط حساب المجالات المغناطيسية في وجود مواد مغناطيسية. وحدة النظام الدولي للوحدات (SI) هي H هي الأمبير لكل متر (A/m). العلاقة بين B و ح يتم إعطاؤه بواسطة B =μH حيث μ هي النفاذية المغناطيسية للوسط. في الفراغ، μ=μ0​=4π×10−7 T⋅m/A .

2.2 مصادر المجالات المغناطيسية

التيارات الكهربائية هي المصدر الرئيسي للمجالات المغناطيسية. تُنشئ الشحنة المتحركة (التيار) مجالًا مغناطيسيًا حولها. هناك نوعان رئيسيان من توزيعات التيار: التيارات الثابتة والتيارات المتغيرة زمنيًا. بالنسبة للتيارات الثابتة، يُمكننا استخدام قانون أمبير وقانون بيو-سافارت لحساب المجال المغناطيسي، أما بالنسبة للتيارات المتغيرة زمنيًا، فعلينا مراعاة قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي ومعادلات ماكسويل.

3. طرق حساب التيارات الثابتة

3.1 بيو - قانون سافارت

يعطي قانون بيوت-سافارت المجال المغناطيسي ديسيبل تم إنتاجه بواسطة عنصر تيار لا متناهي الصغر Idl عند نقطة r في الفضاء. الصيغة هي:

ديسيبل =4πμ0​​r2Idl ×ر^​

حيث μ0​ هي نفاذية الفضاء الحر، I هو التيار في السلك، dl هو متجه الطول اللانهائي للعنصر الحالي، و r^ هو متجه الوحدة من العنصر الحالي إلى نقطة الاهتمام، و r هي المسافة بين العنصر الحالي ونقطة الاهتمام.

لإيجاد المجال المغناطيسي الكلي ب عند نقطة بسبب سلك يحمل تيارًا محدودًا، نقوم بدمج التعبير أعلاه على طول السلك بالكامل:

ب =4πμ0​​∫r2Idl ×ر^​

مثال: المجال المغناطيسي على محور حلقة تيار دائرية

لنفترض وجود حلقة دائرية نصف قطرها R تحمل تيارًا I. نريد إيجاد المجال المغناطيسي عند نقطة P على محور الحلقة على مسافة x من مركز الحلقة.

باستخدام قانون بيوت-سافارت، لعنصر تيار لا متناهي الصغر Idl في الحلقة، المسافة r=R2+x2 ، و دل ×r^ له مقدار dlsin90∘=dl (لأن dl مماس للحلقة و r^ على طول الخط من العنصر إلى النقطة P).

من خلال التكامل حول الحلقة، نحصل على:

ب=2(R2+x2)23​μ0​IR2​

في مركز الحلقة ( x=0 )، B=2Rμ0​I​ .

3.2 قانون أمبير

ينص قانون أمبير على أن التكامل الخطي للمجال المغناطيسي B حول حلقة مغلقة يساوي μ0​ مرات التيار الكلي Ienc​ المحيط بالحلقة:

∮B⋅دل =μ0​Ienc​

يعد قانون أمبير مفيدًا جدًا لحساب المجالات المغناطيسية في المواقف ذات التناظر العالي، مثل الأسلاك المستقيمة الطويلة والملفات اللولبية والحلقات.

مثال: المجال المغناطيسي داخل ملف لولبي مستقيم طويل

الملف اللولبي هو ملف طويل من الأسلاك. بالنسبة للملف اللولبي المثالي (طويل بلا حدود ومقطعه العرضي منتظم)، يمكننا استخدام قانون أمبير لحساب المجال المغناطيسي داخله.

اخترنا حلقة أمبيرية مستطيلة، بحيث يكون أحد أضلاعها داخل الملف اللولبي موازيًا لمحوره، والأضلاع الأخرى عمودية عليه. يكون المجال المغناطيسي خارج الملف اللولبي مهملاً، بينما يكون المجال المغناطيسي داخله موازيًا للمحور.

ليكن n عدد اللفات لكل وحدة طول من الملف اللولبي، و I التيار المار في السلك. التيار الكلي المحيط بحلقة أمبير هو Ienc​=nIl ، حيث l هو طول ضلع الحلقة داخل الملف اللولبي.

من قانون أمبير ∮B⋅دل =Bl=μ0​nIl ، يمكننا حل B :

ب=μ0nI

4. طرق حساب التيارات المتغيرة مع الزمن

4.1 قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي

ينص قانون فاراداي على أن القوة الدافعة الكهربائية ( E ) المستحثة في حلقة مغلقة تساوي معدل التغير السالب للتدفق المغناطيسي ΦB​ عبر الحلقة:

E=−dtdΦB​​

حيث ΦB​=∫B ⋅dA هو التدفق المغناطيسي عبر الحلقة، و dA هو متجه المساحة اللامتناهي في الصغر للحلقة.

يشكل هذا القانون الأساس للعديد من الأجهزة الكهربائية مثل المولدات والمحولات.

4.2 معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل هي مجموعة من أربع معادلات أساسية تصف سلوك المجالات الكهربائية والمغناطيسية. فيما يتعلق بالمجالات المغناطيسية، هناك معادلتان مهمتان:

• قانون جاوس للمغناطيسية : ∮B⋅dA=0
  تنص هذه المعادلة على أنه لا توجد أحاديات مغناطيسية (شحنات مغناطيسية معزولة)، وأن التدفق المغناطيسي الصافي عبر أي سطح مغلق يساوي صفرًا.
• قانون أمبير - ماكسويل : ∮B⋅دل =μ0​(Ienc​+ϵ0​dtdΦE​​)
  هذا هو الشكل الموسع لقانون أمبير، والذي يأخذ في الاعتبار تيار الإزاحة ϵ0​dtdΦE​​ ، حيث ΦE​ هو التدفق الكهربائي عبر الحلقة الأمبرية.

5. المجالات المغناطيسية في المواد المغناطيسية

عندما توضع مادة مغناطيسية في مجال مغناطيسي خارجي، تصبح المادة ممغنطة، ويصبح المجال المغناطيسي الكلي داخل المادة هو مجموع المجال المغناطيسي الخارجي والمجال المغناطيسي بسبب مغناطيسية المادة.

المغناطيسية م تُعرَّف المادة بأنها العزم المغناطيسي لكل وحدة حجم. العلاقة بين ب ، ح ، و م هو ب =μ0​(H+M ) .

بالنسبة للمواد المغناطيسية الخطية، م =χm​H حيث χm هي القابلية المغناطيسية للمادة. ثم B =μH حيث μ=μ0​(1+χm​) هي النفاذية المغناطيسية للمادة.

6. الطرق العددية لحساب المجال المغناطيسي

في الهندسة المعقدة حيث يكون من الصعب أو المستحيل الحصول على حلول تحليلية، يتم استخدام الطرق العددية مثل طريقة العناصر المحدودة (FEM) وطريقة العناصر الحدودية (BEM) على نطاق واسع.

6.1 طريقة العناصر المحدودة (FEM)

تُقسّم طريقة العناصر المحدودة (FEM) المنطقة المعنية إلى عدد كبير من العناصر الصغيرة (مثل المثلثات أو رباعيات السطوح ثنائية وثلاثية الأبعاد على التوالي). يُقاس المجال المغناطيسي داخل كل عنصر باستخدام دوال بسيطة (مثل كثيرات الحدود الخطية أو التربيعية). بتطبيق المعادلات الحاكمة (مثل معادلات ماكسويل) على كل عنصر وتطبيق الشروط الحدودية، يُشكَّل نظام من المعادلات الخطية، والذي يُمكن حله للحصول على توزيع المجال المغناطيسي في جميع أنحاء المنطقة.

6.2 طريقة العناصر الحدودية (BEM)

يعتمد نموذج BEM على الشكل التكاملي للمعادلات الحاكمة. فهو يتطلب فقط تقسيم حدود المنطقة، وليس الحجم بأكمله. هذا قد يؤدي إلى تقليل عدد المجاهيل مقارنةً بنموذج FEM، خاصةً في المسائل ذات المجالات اللانهائية أو شبه اللانهائية. مع ذلك، قد يكون نموذج BEM أكثر تعقيدًا في المسائل ذات المواد غير الخطية أو المجالات المتغيرة مع الزمن.

7. التطبيقات

7.1 الهندسة الكهربائية

في الآلات الكهربائية، مثل المحركات والمولدات والمحولات، يُعدّ الحساب الدقيق للمجالات المغناطيسية أمرًا أساسيًا لتحسين أدائها وكفاءتها وتقليل الخسائر. على سبيل المثال، في المحرك، يتفاعل المجال المغناطيسي مع الموصلات الحاملة للتيار الكهربائي لتوليد عزم الدوران، ويساعد فهم توزيع المجال المغناطيسي في تصميم هندسة المحرك وتكوين ملفاته.

7.2 التصوير الطبي

التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI) هو تقنية تصوير طبي غير جراحية تعتمد على تفاعل المجالات المغناطيسية مع الدوران النووي للذرات في جسم الإنسان. يُعدّ حساب المجالات المغناطيسية الساكنة والترددات الراديوية في جهاز التصوير بالرنين المغناطيسي أمرًا بالغ الأهمية للحصول على صور عالية الجودة وضمان سلامة المريض.

7.3 مسرعات الجسيمات

في مسرعات الجسيمات، تُستخدم المجالات المغناطيسية لتوجيه الجسيمات المشحونة وتركيزها على طول مساراتها. يُعد تصميم هذه المجالات المغناطيسية وحسابها أمرًا أساسيًا لتحقيق خصائص حزمة الجسيمات المطلوبة، مثل الطاقة والشدة والتباعد.

8. الخاتمة

يُعدّ حساب المجالات المغناطيسية جانبًا أساسيًا من الكهرومغناطيسية، وله تطبيقات واسعة النطاق في مجالات متنوعة. بدءًا من المبادئ الأساسية لقانون بيو-سافارت وقانون أمبير للتيارات المستقرة، وصولًا إلى معادلات ماكسويل الأكثر تعقيدًا للمجالات المتغيرة مع الزمن، ودراسة المواد المغناطيسية والطرق العددية، يُعدّ الفهم الشامل لحساب المجالات المغناطيسية أمرًا ضروريًا لتطوير التكنولوجيا والبحث العلمي. ومع استمرار تطور التكنولوجيا، من المرجح ظهور أساليب وتقنيات جديدة لحساب المجالات المغناطيسية والتحكم فيها، مما يفتح آفاقًا جديدة في مجالات مثل الحوسبة الكمومية، وتكنولوجيا النانو، واستكشاف الفضاء.