محاسبه میدان مغناطیسی

۱. مقدمه

میدان‌های مغناطیسی در دنیای فیزیکی فراگیر هستند و نقش حیاتی در پدیده‌های مختلف از رفتار ذرات بنیادی گرفته تا عملکرد دستگاه‌های الکتریکی در مقیاس بزرگ ایفا می‌کنند. درک نحوه محاسبه میدان‌های مغناطیسی در فیزیک، مهندسی و بسیاری از علوم کاربردی اساسی است. این متن به اصول، فرمول‌ها و روش‌های محاسبه میدان‌های مغناطیسی در سناریوهای مختلف می‌پردازد.

۲. مفاهیم پایه

۲.۱ بردارهای میدان مغناطیسی

میدان مغناطیسی یک میدان برداری است، به این معنی که در هر نقطه از فضا، جهت و بزرگی کاملاً مشخصی مرتبط با میدان مغناطیسی وجود دارد. ما معمولاً از دو بردار اصلی برای توصیف میدان‌های مغناطیسی استفاده می‌کنیم: چگالی شار مغناطیسی B و شدت میدان مغناطیسی H .

• چگالی شار مغناطیسی ( B) ) : این نشان دهنده نیروی وارد بر واحد جریان - طول وارد بر یک هادی حامل جریان واقع در میدان مغناطیسی است. واحد SI از B تسلا (T) است، که در آن 1 T=1 N/(A⋅m) است.
• شدت میدان مغناطیسی ( H) ) : این مربوط به جریان آزاد در یک ناحیه است و برای ساده‌سازی محاسبه میدان‌های مغناطیسی در حضور مواد مغناطیسی استفاده می‌شود. واحد SI H آمپر بر متر (A/m) است. رابطه بین B و اچ. با B داده شده است =μH که در آن μ نفوذپذیری مغناطیسی محیط است. در خلاء، μ=μ0​=4π×10−7 T⋅m/A .

۲.۲ منابع میدان‌های مغناطیسی

منابع اصلی میدان‌های مغناطیسی، جریان‌های الکتریکی هستند. یک بار متحرک (جریان) یک میدان مغناطیسی در اطراف خود ایجاد می‌کند. دو نوع اصلی توزیع جریان وجود دارد: جریان‌های پایدار و جریان‌های متغیر با زمان. برای جریان‌های پایدار، می‌توانیم از قانون آمپر و قانون بیو-ساوارت برای محاسبه میدان مغناطیسی استفاده کنیم، در حالی که برای جریان‌های متغیر با زمان، باید قانون القای الکترومغناطیسی فارادی و معادلات ماکسول را در نظر بگیریم.

۳. روش‌های محاسبه برای جریان‌های پایدار

۳.۱ قانون بیو - ساوارت

قانون بیو-ساوارت میدان مغناطیسی dB را می‌دهد. تولید شده توسط یک عنصر جریان بی‌نهایت کوچک Idl در نقطه r در فضا. فرمول این است:

دسی‌بل =4πμ0​​r2Idl ×r^​

که در آن μ0​ نفوذپذیری فضای آزاد، I جریان در سیم، dl است بردار طول بی‌نهایت کوچک عنصر فعلی، r^ بردار واحد از عنصر فعلی تا نقطه مورد نظر و r فاصله بین عنصر فعلی و نقطه مورد نظر است.

برای یافتن میدان مغناطیسی کل B در نقطه‌ای ناشی از یک سیم حامل جریان محدود، عبارت فوق را در کل طول سیم انتگرال می‌گیریم:

ب =4πμ0​​∫r2Idl ×r^​

مثال: میدان مغناطیسی روی محور یک حلقه جریان دایره‌ای

یک حلقه دایره‌ای به شعاع R را در نظر بگیرید که جریان I از آن عبور می‌کند. می‌خواهیم میدان مغناطیسی را در نقطه P روی محور حلقه و در فاصله x از مرکز حلقه پیدا کنیم.

با استفاده از قانون بیو-ساوارت، برای یک عنصر جریان بی‌نهایت کوچک Idl روی حلقه، فاصله r=R2+x2 است ، و دی ال ×r^ دارای بزرگی dlsin90∘=dl است (زیرا dl مماس بر حلقه و r^ در امتداد خط از عنصر تا نقطه P است.

با انتگرال‌گیری حول حلقه، خواهیم داشت:

B=2(R^2+x^2)^23​μ0​IR^2​

در مرکز حلقه ( x=0 )، B=2Rμ0​I قرار دارد.

۳.۲ قانون آمپر

قانون آمپر بیان می‌کند که انتگرال خطی میدان مغناطیسی B حول یک حلقه بسته برابر است با μ0​ ضربدر کل جریان Ienc​ محصور شده توسط حلقه:

∮B⋅dl =μ0​اینک​

قانون آمپر برای محاسبه میدان‌های مغناطیسی در موقعیت‌هایی با تقارن بالا، مانند سیم‌های مستقیم بلند، سلونوئیدها و توروئیدها بسیار مفید است.

مثال: میدان مغناطیسی درون یک سلونوئید مستقیم و بلند

سلونوئید یک سیم‌پیچ بلند است. برای یک سلونوئید ایده‌آل (با طول بی‌نهایت و سطح مقطع یکنواخت)، می‌توانیم از قانون آمپر برای محاسبه میدان مغناطیسی درون آن استفاده کنیم.

یک حلقه آمپری مستطیلی را انتخاب می‌کنیم که یک ضلع آن در داخل سلونوئید موازی با محور آن و اضلاع دیگر آن عمود بر محور است. میدان مغناطیسی خارج از سلونوئید ناچیز و میدان مغناطیسی داخل آن موازی با محور است.

فرض کنید n تعداد دور در واحد طول سلونوئید و I جریان درون سیم باشد. کل جریان محصور شده توسط حلقه آمپری برابر است با Ienc=nIl ، که در آن l طول ضلع حلقه درون سلونوئید است.

از قانون آمپر ∮B⋅dl =Bl=μ0​nIl ، می‌توانیم B را به صورت زیر حل کنیم:

B=μ0​nI

۴. روش‌های محاسبه برای جریان‌های متغیر با زمان

۴.۱ قانون القای الکترومغناطیسی فارادی

قانون فارادی بیان می‌کند که نیروی محرکه الکتریکی ( E ) القا شده در یک حلقه بسته برابر است با منفی نرخ تغییر شار مغناطیسی ΦB​ از طریق حلقه:

E=−dtdΦB​​

که در آن ΦB​=∫B ⋅dA شار مغناطیسی عبوری از حلقه و dA است بردار مساحت بی‌نهایت کوچک حلقه است.

این قانون اساس بسیاری از دستگاه‌های الکتریکی مانند ژنراتورها و ترانسفورماتورها است.

۴.۲ معادلات ماکسول

معادلات ماکسول مجموعه‌ای از چهار معادله اساسی هستند که رفتار میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توصیف می‌کنند. برای میدان‌های مغناطیسی، دو مورد از معادلات مربوطه عبارتند از:

• قانون گاوس برای مغناطیس : ∮B⋅dA=0
  این معادله بیان می‌کند که هیچ تک‌قطبی مغناطیسی (بارهای مغناطیسی ایزوله) وجود ندارد و شار مغناطیسی خالص از طریق هر سطح بسته‌ای صفر است.
• آمپر - قانون ماکسول : ∮B⋅دسی‌لیتر =μ0​(Ienc​+ϵ0​dtdΦE​)
  این شکل توسعه‌یافته‌ای از قانون آمپر است که جریان جابجایی ϵ0​dtdΦE​​ را در نظر می‌گیرد، که در آن ΦE​ شار الکتریکی عبوری از حلقه آمپری است.

۵. میدان‌های مغناطیسی در مواد مغناطیسی

وقتی یک ماده مغناطیسی در یک میدان مغناطیسی خارجی قرار می‌گیرد، ماده مغناطیسی می‌شود و میدان مغناطیسی کل درون ماده، مجموع میدان مغناطیسی خارجی و میدان مغناطیسی ناشی از مغناطش ماده است.

مغناطش M گشتاور مغناطیسی یک ماده به صورت گشتاور مغناطیسی در واحد حجم تعریف می‌شود. رابطه بین B ، اچ ، و م ب است =μ0​(H+M ) .

برای مواد مغناطیسی خطی، M =χm​H که در آن χm​ پذیرفتاری مغناطیسی ماده است. آنگاه B =μH که در آن μ=μ0​(1+χm​) نفوذپذیری مغناطیسی ماده است.

۶. روش‌های عددی برای محاسبه میدان مغناطیسی

در هندسه‌های پیچیده که به دست آوردن راه‌حل‌های تحلیلی دشوار یا غیرممکن است، روش‌های عددی مانند روش المان محدود (FEM) و روش المان مرزی (BEM) به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند.

۶.۱ روش المان محدود (FEM)

روش اجزای محدود (FEM) ناحیه مورد نظر را به تعداد زیادی المان کوچک (مثلاً مثلث یا چهاروجهی به ترتیب در فضای دوبعدی و سه‌بعدی) تقسیم می‌کند. میدان مغناطیسی در هر المان با استفاده از توابع ساده (مثلاً چندجمله‌ای‌های خطی یا درجه دوم) تقریب زده می‌شود. با اعمال معادلات حاکم (مانند معادلات ماکسول) بر هر المان و اعمال شرایط مرزی، یک سیستم معادلات خطی تشکیل می‌شود که می‌توان آن را برای بدست آوردن توزیع میدان مغناطیسی در سراسر ناحیه حل کرد.

۶.۲ روش المان مرزی (BEM)

روش المان مرزی (BEM) بر اساس فرم انتگرالی معادلات حاکم است. این روش فقط به گسسته‌سازی مرزهای ناحیه نیاز دارد، نه کل حجم. این امر می‌تواند منجر به کاهش تعداد مجهولات در مقایسه با روش اجزا محدود (FEM)، به ویژه برای مسائلی با دامنه‌های نامحدود یا نیمه نامحدود، شود. با این حال، روش المان مرزی (BEM) ممکن است برای مسائلی با مواد غیرخطی یا میدان‌های متغیر با زمان پیچیده‌تر باشد.

۷. کاربردها

۷.۱ مهندسی برق

در ماشین‌های الکتریکی مانند موتورها، ژنراتورها و ترانسفورماتورها، محاسبه دقیق میدان‌های مغناطیسی برای بهینه‌سازی عملکرد، راندمان و کاهش تلفات آنها ضروری است. به عنوان مثال، در یک موتور، میدان مغناطیسی با هادی‌های حامل جریان تعامل دارد تا گشتاور تولید کند و درک توزیع میدان مغناطیسی به طراحی هندسه موتور و پیکربندی سیم‌پیچ کمک می‌کند.

۷.۲ تصویربرداری پزشکی

تصویربرداری تشدید مغناطیسی (MRI) یک تکنیک تصویربرداری پزشکی غیرتهاجمی است که بر برهمکنش میدان‌های مغناطیسی با اسپین‌های هسته‌ای اتم‌ها در بدن انسان متکی است. محاسبه میدان‌های مغناطیسی استاتیک و فرکانس رادیویی در یک اسکنر MRI برای دستیابی به تصاویر با کیفیت بالا و تضمین ایمنی بیمار بسیار مهم است.

۷.۳ شتاب‌دهنده‌های ذرات

در شتاب‌دهنده‌های ذرات، از میدان‌های مغناطیسی برای هدایت و متمرکز کردن ذرات باردار در امتداد مسیرشان استفاده می‌شود. طراحی و محاسبه این میدان‌های مغناطیسی کلید دستیابی به خواص مطلوب پرتو ذرات، مانند انرژی، شدت و واگرایی، است.

۸. نتیجه‌گیری

محاسبه میدان‌های مغناطیسی یک جنبه اساسی الکترومغناطیس با کاربردهای گسترده در زمینه‌های مختلف است. از اصول اولیه قانون بیو-ساوارت و قانون آمپر برای جریان‌های ثابت گرفته تا معادلات پیچیده‌تر ماکسول برای میدان‌های متغیر با زمان و بررسی مواد مغناطیسی و روش‌های عددی، درک جامعی از محاسبه میدان مغناطیسی برای پیشرفت فناوری و تحقیقات علمی ضروری است. با تکامل فناوری، احتمالاً روش‌ها و تکنیک‌های جدیدی برای محاسبه و دستکاری میدان‌های مغناطیسی پدیدار خواهند شد و امکانات جدیدی را در زمینه‌هایی مانند محاسبات کوانتومی، فناوری نانو و اکتشافات فضایی ایجاد می‌کنند.