Senz Magnet - Globálny výrobca trvalých magnetov & Dodávateľ viac ako 20 rokov.
Výpočet magnetického poľa
1. Úvod
Magnetické polia sú všadeprítomné vo fyzickom svete a hrajú kľúčovú úlohu v rôznych javoch, od správania elementárnych častíc až po prevádzku rozsiahlych elektrických zariadení. Pochopenie toho, ako vypočítať magnetické polia, je základom fyziky, inžinierstva a mnohých aplikovaných vied. Tento text sa ponorí do princípov, vzorcov a metód výpočtu magnetických polí v rôznych scenároch.
2. Základné pojmy
2.1 Vektory magnetického poľa
Magnetické pole je vektorové pole, čo znamená, že v každom bode priestoru existuje presne definovaný smer a veľkosť spojená s magnetickým poľom. Na opis magnetických polí zvyčajne používame dva hlavné vektory: hustotu magnetického toku a intenzita magnetického poľa .
- Hustota magnetického toku ( ) : Predstavuje silu na jednotku dĺžky prúdu pôsobiacu na vodič, ktorým vedie prúd, umiestnený v magnetickom poli. Jednotka SI je je tesla (T), kde .
- Intenzita magnetického poľa ( ) : Súvisí s voľným prúdom v oblasti a používa sa na zjednodušenie výpočtu magnetických polí v prítomnosti magnetických materiálov. Jednotka SI je je ampér na meter (A/m). Vzťah medzi je dané , kde je magnetická permeabilita média. Vo vákuu .
2.2 Zdroje magnetických polí
Primárnymi zdrojmi magnetických polí sú elektrické prúdy. Pohybujúci sa náboj (prúd) vytvára okolo seba magnetické pole. Existujú dva hlavné typy rozloženia prúdu: ustálené prúdy a časovo premenné prúdy. Pre ustálené prúdy môžeme na výpočet magnetického poľa použiť Ampérov zákon a Biot-Savartov zákon, zatiaľ čo pre časovo premenné prúdy musíme zvážiť Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie a Maxwellove rovnice.
3. Metódy výpočtu ustálených prúdov
3.1 Biotovo-Savartovo právo
Biot-Savartov zákon udáva magnetické pole produkovaný nekonečne malým prúdovým prvkom v bode vo vesmíre. Vzorec je:
kde je permeabilita voľného priestoru, je prúd v vodiči, je vektor nekonečne malej dĺžky aktuálneho prvku, je jednotkový vektor od aktuálneho prvku k bodu záujmu a je vzdialenosť medzi aktuálnym prvkom a bodom záujmu.
Nájdenie celkového magnetického poľa v bode kvôli konečnému vodiču s prúdom integrujeme vyššie uvedený výraz po celej dĺžke vodiča:
Príklad: Magnetické pole na osi kruhovej prúdovej slučky
Uvažujme kruhovú slučku s polomerom ktorou preteká prúd Chceme nájsť magnetické pole v bode na osi slučky vo vzdialenosti od stredu slučky.
Použitím Biotovho-Savartovho zákona pre nekonečne malý prúdový prvok na slučke je vzdialenosť má veľkosť (keďže je dotyčnica slučky a je pozdĺž priamky z prvku do bodu ).
Integrovaním okolo slučky dostaneme:
V strede slučky ( ) platí .
3.2 Ampérov zákon
Ampérov zákon hovorí, že čiarový integrál magnetického poľa okolo uzavretej slučky sa rovná krát celkovému prúdu uzavretému slučkou:
Ampérov zákon je veľmi užitočný na výpočet magnetických polí v situáciách s vysokou symetriou, ako sú dlhé rovné vodiče, solenoidy a toroidy.
Príklad: Magnetické pole vo vnútri dlhého rovného solenoidu
Solenoid je dlhá cievka z drôtu. Pre ideálny solenoid (nekonečne dlhý a s rovnomerným prierezom) môžeme na výpočet magnetického poľa vo vnútri použiť Ampérov zákon.
Vyberieme si obdĺžnikovú Ampérovu slučku s jednou stranou vo vnútri solenoidu rovnobežnou s jeho osou a ostatnými stranami kolmými na os. Magnetické pole mimo solenoidu je zanedbateľné a magnetické pole vo vnútri je rovnobežné s osou.
Nech je počet závitov na jednotku dĺžky solenoidu a je prúd v vodiči. Celkový prúd uzavretý Ampérovou slučkou je , kde je dĺžka strany slučky vo vnútri solenoidu.
Z Ampérovho zákona , môžeme vyriešiť pre :
4. Metódy výpočtu pre časovo premenlivé prúdy
4.1 Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie
Faradayov zákon hovorí, že elektromotorická sila ( ) indukovaná v uzavretej slučke sa rovná zápornej rýchlosti zmeny magnetického toku cez slučku:
kde je magnetický tok cez slučku a je nekonečne malý plošný vektor slučky.
Tento zákon je základom pre mnohé elektrické zariadenia, ako sú generátory a transformátory.
4.2 Maxwellove rovnice
Maxwellove rovnice sú súborom štyroch základných rovníc, ktoré opisujú správanie elektrických a magnetických polí. Pre magnetické polia sú dve z relevantných rovníc:
- Gaussov zákon pre magnetizmus :
Táto rovnica uvádza, že neexistujú žiadne magnetické monopóly (izolované magnetické náboje) a čistý magnetický tok cez akýkoľvek uzavretý povrch je nulový. - Ampérov - Maxwellov zákon :
Toto je rozšírená forma Ampérovho zákona, ktorá zohľadňuje posuvný prúd , kde je elektrický tok cez Ampérovu slučku.
5. Magnetické polia v magnetických materiáloch
Keď je magnetický materiál umiestnený do vonkajšieho magnetického poľa, materiál sa zmagnetizoval a celkové magnetické pole vo vnútri materiálu je súčtom vonkajšieho magnetického poľa a magnetického poľa spôsobeného magnetizáciou materiálu.
Magnetizácia materiálu je definovaný ako magnetický moment na jednotku objemu. Vzťah medzi , je .
Pre lineárne magnetické materiály, , kde je magnetická susceptibilita materiálu. Potom , kde je magnetická permeabilita materiálu.
6. Numerické metódy pre výpočet magnetického poľa
V zložitých geometriách, kde je ťažké alebo nemožné získať analytické riešenia, sa široko používajú numerické metódy, ako je metóda konečných prvkov (FEM) a metóda okrajových prvkov (BEM).
6.1 Metóda konečných prvkov (FEM)
MKP rozdeľuje oblasť záujmu na veľký počet malých prvkov (napr. trojuholníky alebo tetraédre v 2D a 3D). Magnetické pole sa v rámci každého prvku aproximuje pomocou jednoduchých funkcií (napr. lineárne alebo kvadratické polynómy). Aplikáciou riadiacich rovníc (ako sú Maxwellove rovnice) na každý prvok a vynútením okrajových podmienok sa vytvorí systém lineárnych rovníc, ktoré je možné vyriešiť a získať tak rozloženie magnetického poľa v celej oblasti.
6.2 Metóda okrajových prvkov (BEM)
Metóda konečných prvkov (BEM) je založená na integrálnom tvare riadiacich rovníc. Vyžaduje diskretizáciu iba hraníc oblasti, nie celého objemu. To môže viesť k zníženiu počtu neznámych v porovnaní s metódou konečných prvkov (FEM), najmä pri problémoch s nekonečnými alebo polonekonečnými doménami. BEM však môže byť zložitejší pri problémoch s nelineárnymi materiálmi alebo časovo premenlivými poľami.
7. Aplikácie
7.1 Elektrotechnika
V elektrických strojoch, ako sú motory, generátory a transformátory, je presný výpočet magnetických polí nevyhnutný pre optimalizáciu ich výkonu, účinnosti a zníženie strát. Napríklad v motore magnetické pole interaguje s vodičmi, ktorými tečie prúd, a vytvára krútiaci moment, a pochopenie rozloženia magnetického poľa pomáha pri navrhovaní geometrie motora a konfigurácie vinutia.
7.2 Medicínske zobrazovanie
Magnetická rezonancia (MRI) je neinvazívna medicínska zobrazovacia technika, ktorá sa spolieha na interakciu magnetických polí s jadrovými spinmi atómov v ľudskom tele. Výpočet statických a rádiofrekvenčných magnetických polí v MRI skeneri je kľúčový pre získanie vysokokvalitných snímok a zaistenie bezpečnosti pacienta.
7.3 Urýchľovače častíc
V urýchľovačoch častíc sa magnetické polia používajú na vedenie a zaostrovanie nabitých častíc pozdĺž ich trajektórií. Návrh a výpočet týchto magnetických polí sú kľúčové pre dosiahnutie požadovaných vlastností lúča častíc, ako je energia, intenzita a divergencia.
8. Záver
Výpočet magnetických polí je základným aspektom elektromagnetizmu so širokým spektrom aplikácií v rôznych oblastiach. Od základných princípov Biot-Savartovho zákona a Ampérovho zákona pre ustálené prúdy až po zložitejšie Maxwellove rovnice pre časovo premenné polia a zohľadnenie magnetických materiálov a numerických metód je komplexné pochopenie výpočtu magnetického poľa nevyhnutné pre pokrok v technológii a vedeckom výskume. S neustálym vývojom technológií sa pravdepodobne objavia nové metódy a techniky na výpočet a manipuláciu s magnetickými poľami, ktoré otvoria nové možnosti v oblastiach, ako sú kvantové výpočty, nanotechnológie a prieskum vesmíru.
