Senz Magnet - Глобальный производитель материалов для постоянных магнитов & Поставщик более 20 лет.
Расчет магнитного поля
1. Введение
Магнитные поля повсеместно присутствуют в физическом мире, играя важнейшую роль в различных явлениях – от поведения элементарных частиц до работы крупномасштабных электрических устройств. Понимание принципов расчёта магнитных полей имеет основополагающее значение для физики, техники и многих прикладных наук. В этой книге будут подробно рассмотрены принципы, формулы и методы расчёта магнитных полей в различных ситуациях.
2. Основные понятия
2.1 Векторы магнитного поля
Магнитное поле является векторным, то есть в каждой точке пространства оно имеет чётко определённое направление и величину. Для описания магнитных полей обычно используются два основных вектора: плотность магнитного потока и напряженность магнитного поля .
- Плотность магнитного потока ( ) : представляет собой силу на единицу длины тока, действующую на проводник с током, помещённый в магнитное поле. Единица измерения СИ для — это тесла (Тл), где .
- Напряженность магнитного поля ( ) : Он связан со свободным током в области и используется для упрощения расчёта магнитных полей в присутствии магнитных материалов. Единица измерения в системе СИ Это ампер на метр (А/м). Соотношение между и дается , где — магнитная проницаемость среды. В вакууме .
2.2 Источники магнитных полей
Основным источником магнитных полей являются электрические токи. Движущийся заряд (ток) создаёт вокруг себя магнитное поле. Существует два основных типа распределения тока: стационарные и переменные во времени. Для стационарных токов для расчёта магнитного поля можно использовать закон Ампера и закон Био – Савара, тогда как для переменных во времени токов необходимо учитывать закон электромагнитной индукции Фарадея и уравнения Максвелла.
3. Методы расчета постоянных токов
3.1 Закон Био-Савара
Закон Биота-Савара дает магнитное поле созданный бесконечно малым элементом тока в точке в космосе. Формула:
где — проницаемость свободного пространства, — ток в проводе, — бесконечно малый вектор длины текущего элемента, — единичный вектор от текущего элемента до точки интереса, а — расстояние между текущим элементом и точкой интереса.
Чтобы найти полное магнитное поле в точке, образованной конечным проводом с током, мы интегрируем вышеуказанное выражение по всей длине провода:
Пример: магнитное поле на оси кругового токового контура
Рассмотрим круговой контур радиуса по которому течёт ток Нам нужно найти магнитное поле в точке на оси контура на расстоянии от его центра.
Используя закон Био-Савара, для бесконечно малого элемента тока на петле расстояние и имеет величину (так как касается петли, а — вдоль линии, соединяющей элемент с точкой ).
Интегрируя по контуру, получаем:
В центре петли ( ) .
3.2 Закон Ампера
Закон Ампера гласит, что линейный интеграл магнитного поля вокруг замкнутого контура равен , умноженному на общий ток заключенный в контуре:
Закон Ампера очень полезен для расчета магнитных полей в ситуациях с высокой симметрией, таких как длинные прямые провода, соленоиды и тороиды.
Пример: магнитное поле внутри длинного прямого соленоида
Соленоид — это длинная катушка провода. Для идеального соленоида (бесконечно длинного и с постоянным поперечным сечением) для расчёта магнитного поля внутри него можно использовать закон Ампера.
Выберем прямоугольную амперовую петлю, одна сторона которой внутри соленоида параллельна его оси, а другие перпендикулярны ей. Магнитное поле вне соленоида пренебрежимо мало, а магнитное поле внутри параллельно оси.
Пусть — число витков на единицу длины соленоида, а — сила тока в проводе. Полный ток, заключенный в амперовой петле, равен , где — длина стороны петли внутри соленоида.
Из закона Ампера , мы можем решить относительно :
4. Методы расчета токов, изменяющихся во времени
4.1 Закон электромагнитной индукции Фарадея
Закон Фарадея гласит, что электродвижущая сила ( ), индуцированная в замкнутом контуре, равна отрицательной скорости изменения магнитного потока через контур:
где — магнитный поток через контур, а — бесконечно малый вектор площади контура.
Этот закон лежит в основе работы многих электрических устройств, таких как генераторы и трансформаторы.
4.2 Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла представляют собой систему из четырёх фундаментальных уравнений, описывающих поведение электрических и магнитных полей. Для магнитных полей важны два из них:
- Закон Гаусса для магнетизма :
Это уравнение утверждает, что не существует магнитных монополей (изолированных магнитных зарядов), а чистый магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. - Закон Ампера-Максвелла :
Это расширенная форма закона Ампера, которая учитывает ток смещения , где — электрический поток через амперовский контур.
5. Магнитные поля в магнитных материалах
Если поместить магнитный материал во внешнее магнитное поле, он намагничивается, а общее магнитное поле внутри материала представляет собой сумму внешнего магнитного поля и магнитного поля, возникающего вследствие намагничивания материала.
Намагниченность Материал определяется как магнитный момент на единицу объема. Соотношение между , , и это .
Для линейных магнитных материалов , где — магнитная восприимчивость материала. Тогда , где — магнитная проницаемость материала.
6. Численные методы расчета магнитного поля
В сложных геометрических системах, где аналитические решения получить сложно или невозможно, широко используются численные методы, такие как метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (ГЭ).
6.1 Метод конечных элементов (МКЭ)
Метод конечных элементов (МКЭ) разбивает исследуемую область на большое количество малых элементов (например, треугольников или тетраэдров в двумерном и трёхмерном пространстве соответственно). Магнитное поле внутри каждого элемента аппроксимируется простыми функциями (например, линейными или квадратичными полиномами). Применяя к каждому элементу определяющие уравнения (например, уравнения Максвелла) и определяя граничные условия, формируется система линейных уравнений, решение которой позволяет получить распределение магнитного поля в области.
6.2 Метод граничных элементов (ГЭМ)
Метод граничных элементов (МГЭ) основан на интегральной форме основных уравнений. Он требует дискретизации только границ области, а не всего объёма. Это может привести к уменьшению числа неизвестных по сравнению с МКЭ, особенно для задач с бесконечными или полубесконечными областями. Однако МГЭ может оказаться более сложным для задач с нелинейными материалами или переменными во времени полями.
7. Приложения
7.1 Электротехника
В электрических машинах, таких как двигатели, генераторы и трансформаторы, точный расчёт магнитных полей необходим для оптимизации их производительности, эффективности и снижения потерь. Например, в двигателе магнитное поле взаимодействует с проводниками с током, создавая крутящий момент, а понимание распределения магнитного поля помогает в проектировании геометрии двигателя и конфигурации обмоток.
7.2 Медицинская визуализация
Магнитно-резонансная томография (МРТ) — неинвазивный метод медицинской визуализации, основанный на взаимодействии магнитных полей с ядерными спинами атомов человеческого тела. Расчёт статических и радиочастотных магнитных полей в МРТ-сканере имеет решающее значение для получения высококачественных изображений и обеспечения безопасности пациента.
7.3 Ускорители частиц
В ускорителях частиц магнитные поля используются для направления и фокусировки заряженных частиц вдоль их траекторий. Разработка и расчёт этих магнитных полей играют ключевую роль в достижении желаемых характеристик пучка частиц, таких как энергия, интенсивность и расходимость.
8. Заключение
Расчёт магнитных полей – фундаментальный аспект электромагнетизма, имеющий широкое применение в различных областях. От базовых принципов закона Био – Савара и закона Ампера для постоянных токов до более сложных уравнений Максвелла для полей, изменяющихся во времени, а также учёта магнитных материалов и численных методов – всестороннее понимание расчёта магнитных полей необходимо для развития технологий и научных исследований. По мере развития технологий, вероятно, появятся новые методы и методики расчёта и управления магнитными полями, открывая новые возможности в таких областях, как квантовые вычисления, нанотехнологии и исследование космоса.
