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Cálculo del campo magnético
1. Introducción
Los campos magnéticos son omnipresentes en el mundo físico y desempeñan un papel crucial en diversos fenómenos, desde el comportamiento de las partículas elementales hasta el funcionamiento de dispositivos eléctricos a gran escala. Comprender cómo calcular los campos magnéticos es fundamental en física, ingeniería y muchas ciencias aplicadas. Este texto profundizará en los principios, las fórmulas y los métodos para calcular campos magnéticos en diferentes escenarios.
2. Conceptos básicos
2.1 Vectores del campo magnético
El campo magnético es un campo vectorial, lo que significa que en cada punto del espacio, existe una dirección y una magnitud bien definidas asociadas al campo magnético. Normalmente utilizamos dos vectores principales para describir los campos magnéticos: la densidad de flujo magnético y la intensidad del campo magnético .
- Densidad de flujo magnético ( Representa la fuerza por unidad de longitud de corriente que actúa sobre un conductor que transporta corriente y que se encuentra en un campo magnético. La unidad SI de es el tesla (T), donde .
- Intensidad del campo magnético ( ) : Está relacionada con la corriente libre en una región y se utiliza para simplificar el cálculo de campos magnéticos en presencia de materiales magnéticos. La unidad SI de es el amperio por metro (A/m). La relación entre y está dado por donde es la permeabilidad magnética del medio. En el vacío, .
2.2 Fuentes de campos magnéticos
Las principales fuentes de campos magnéticos son las corrientes eléctricas. Una carga en movimiento (corriente) crea un campo magnético a su alrededor. Existen dos tipos principales de distribución de corriente: corrientes continuas y corrientes variables en el tiempo. Para las corrientes continuas, podemos usar la ley de Ampère y la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético, mientras que para las corrientes variables en el tiempo, debemos considerar la ley de inducción electromagnética de Faraday y las ecuaciones de Maxwell.
3. Métodos de cálculo para corrientes estacionarias
3.1 Ley de Biot-Savart
La ley de Biot-Savart proporciona el campo magnético producido por un elemento de corriente infinitesimal en un punto en el espacio. La fórmula es:
donde es la permeabilidad del vacío, es la corriente en el cable, es el vector de longitud infinitesimal del elemento actual, es el vector unitario desde el elemento actual hasta el punto de interés, y es la distancia entre el elemento actual y el punto de interés.
Para hallar el campo magnético total En un punto debido a un cable que transporta una corriente finita, integramos la expresión anterior a lo largo de toda la longitud del cable:
Ejemplo: Campo magnético en el eje de una espira de corriente circular
Consideremos una espira circular de radio que transporta una corriente Queremos hallar el campo magnético en un punto sobre el eje de la espira a una distancia del centro de la misma.
Utilizando la ley de Biot-Savart, para un elemento de corriente infinitesimal En el bucle, la distancia tiene una magnitud (ya que es tangente al bucle y está a lo largo de la línea que va desde el elemento hasta el punto ).
Al integrar en el bucle, obtenemos:
En el centro del bucle ( ), .
3.2 Ley de Ampère
La ley de Ampère establece que la integral de línea del campo magnético La corriente alrededor de un bucle cerrado es igual a veces la corriente total encerrada por el bucle:
La ley de Ampère es muy útil para calcular campos magnéticos en situaciones con alta simetría, como cables rectos largos, solenoides y toroides.
Ejemplo: Campo magnético dentro de un solenoide largo y recto
Un solenoide es una bobina larga de alambre. Para un solenoide ideal (infinitamente largo y con una sección transversal uniforme), podemos usar la ley de Ampère para calcular el campo magnético en su interior.
Elegimos una espira amperiana rectangular con un lado interior del solenoide paralelo a su eje y los demás lados perpendiculares al mismo. El campo magnético exterior al solenoide es despreciable, y el campo magnético interior es paralelo al eje.
Sea el número de espiras por unidad de longitud del solenoide e la corriente en el alambre. La corriente total encerrada por la espira amperiana es , donde es la longitud del lado de la espira dentro del solenoide.
Según la ley de Ampère , podemos despejar :
4. Métodos de cálculo para corrientes variables en el tiempo
4.1 Ley de Faraday de la inducción electromagnética
La ley de Faraday establece que la fuerza electromotriz ( ) inducida en un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio negativa del flujo magnético a través del circuito:
donde es el flujo magnético a través del bucle, y es el vector de área infinitesimal del bucle.
Esta ley es la base de muchos dispositivos eléctricos, como generadores y transformadores.
4.2 Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones fundamentales que describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. Para los campos magnéticos, dos de las ecuaciones relevantes son:
- Ley de Gauss para el magnetismo :
Esta ecuación establece que no existen monopolos magnéticos (cargas magnéticas aisladas) y que el flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es cero. - Ley de Ampere-Maxwell :
Esta es una forma extendida de la ley de Ampere, que tiene en cuenta la corriente de desplazamiento , donde es el flujo eléctrico a través del bucle amperiano.
5. Campos magnéticos en materiales magnéticos
Cuando un material magnético se coloca en un campo magnético externo, el material se magnetiza, y el campo magnético total dentro del material es la suma del campo magnético externo y el campo magnético debido a la magnetización del material.
La magnetización El momento magnético de un material se define como el momento magnético por unidad de volumen. La relación entre , , y es .
Para materiales magnéticos lineales, donde es la susceptibilidad magnética del material. Entonces , donde es la permeabilidad magnética del material.
6. Métodos numéricos para el cálculo del campo magnético
En geometrías complejas donde las soluciones analíticas son difíciles o imposibles de obtener, se utilizan ampliamente métodos numéricos como el método de elementos finitos (MEF) y el método de elementos de contorno (MEC).
6.1 Método de Elementos Finitos (MEF)
El método de elementos finitos (MEF) divide la región de interés en un gran número de elementos pequeños (por ejemplo, triángulos o tetraedros en 2D y 3D, respectivamente). El campo magnético se aproxima dentro de cada elemento mediante funciones simples (por ejemplo, polinomios lineales o cuadráticos). Al aplicar las ecuaciones que rigen el sistema (como las ecuaciones de Maxwell) a cada elemento e imponer las condiciones de contorno, se forma un sistema de ecuaciones lineales que, al resolverse, permite obtener la distribución del campo magnético en toda la región.
6.2 Método de Elementos de Contorno (MEC)
El método de elementos de contorno (BEM) se basa en la forma integral de las ecuaciones que rigen el sistema. Solo requiere la discretización de los límites de la región, en lugar del volumen completo. Esto puede reducir el número de incógnitas en comparación con el método de elementos finitos (FEM), especialmente para problemas con dominios infinitos o semiinfinitos. Sin embargo, el BEM puede resultar más complejo para problemas con materiales no lineales o campos que varían con el tiempo.
7. Aplicaciones
7.1 Ingeniería Eléctrica
En máquinas eléctricas como motores, generadores y transformadores, el cálculo preciso de los campos magnéticos es esencial para optimizar su rendimiento y eficiencia, y reducir las pérdidas. Por ejemplo, en un motor, el campo magnético interactúa con los conductores que transportan corriente para producir par motor, y comprender la distribución del campo magnético ayuda a diseñar la geometría del motor y la configuración del bobinado.
7.2 Imágenes médicas
La resonancia magnética (RM) es una técnica de imagen médica no invasiva que se basa en la interacción de campos magnéticos con los espines nucleares de los átomos del cuerpo humano. El cálculo de los campos magnéticos estáticos y de radiofrecuencia en un escáner de RM es fundamental para obtener imágenes de alta calidad y garantizar la seguridad del paciente.
7.3 Aceleradores de partículas
En los aceleradores de partículas, los campos magnéticos se utilizan para guiar y enfocar las partículas cargadas a lo largo de sus trayectorias. El diseño y el cálculo de estos campos magnéticos son fundamentales para lograr las propiedades deseadas del haz de partículas, como la energía, la intensidad y la divergencia.
8. Conclusión
El cálculo de campos magnéticos es un aspecto fundamental del electromagnetismo con amplias aplicaciones en diversos campos. Desde los principios básicos de la ley de Biot-Savart y la ley de Ampère para corrientes continuas hasta las más complejas ecuaciones de Maxwell para campos variables en el tiempo, pasando por la consideración de materiales magnéticos y métodos numéricos, una comprensión integral del cálculo de campos magnéticos es necesaria para el avance de la tecnología y la investigación científica. A medida que la tecnología continúa evolucionando, es probable que surjan nuevos métodos y técnicas para calcular y manipular campos magnéticos, abriendo nuevas posibilidades en áreas como la computación cuántica, la nanotecnología y la exploración espacial.
