Calculul câmpului magnetic

1. Introducere

Câmpurile magnetice sunt omniprezente în lumea fizică, jucând un rol crucial în diverse fenomene, de la comportamentul particulelor elementare până la funcționarea dispozitivelor electrice de mari dimensiuni. Înțelegerea modului de calculare a câmpurilor magnetice este fundamentală în fizică, inginerie și multe științe aplicate. Acest text va aprofunda principiile, formulele și metodele de calculare a câmpurilor magnetice în diferite scenarii.

2. Concepte de bază

2.1 Vectori ai câmpului magnetic

Câmpul magnetic este un câmp vectorial, ceea ce înseamnă că în fiecare punct din spațiu există o direcție și o magnitudine bine definite asociate câmpului magnetic. De obicei, folosim doi vectori principali pentru a descrie câmpurile magnetice: densitatea fluxului magnetic B și intensitatea câmpului magnetic H .

• Densitatea fluxului magnetic ( B ) : Reprezintă forța pe unitatea de lungime a curentului care acționează asupra unui conductor purtător de curent plasat în câmp magnetic. Unitatea SI pentru B este tesla (T), unde 1 T = 1 N/(A⋅m) .
• Intensitatea câmpului magnetic ( H ) : Este legată de curentul liber dintr-o regiune și este utilizată pentru a simplifica calculul câmpurilor magnetice în prezența materialelor magnetice. Unitatea SI pentru H este amperul pe metru (A/m). Relația dintre B și H este dat de B =μH , unde μ este permeabilitatea magnetică a mediului. În vid, μ = μ0​=4π×10−7 T⋅m/A .

2.2 Surse de câmpuri magnetice

Principalele surse de câmpuri magnetice sunt curenții electrici. O sarcină electrică (curent) în mișcare creează un câmp magnetic în jurul său. Există două tipuri principale de distribuții de curent: curenți staționari și curenți variabili în timp. Pentru curenții staționari, putem folosi legea lui Ampere și legea Biot-Savart pentru a calcula câmpul magnetic, în timp ce pentru curenții variabili în timp, trebuie să luăm în considerare legea lui Faraday privind inducția electromagnetică și ecuațiile lui Maxwell.

3. Metode de calcul pentru curenți staționari

3.1 Biot - Legea Savart

Legea Biot-Savart dă câmpul magnetic dB produs de un element de curent infinitezimal Idl într-un punct r în spațiu. Formula este:

dB =4πμ0​​r2Idl ×r^​

unde μ0​ este permeabilitatea spațiului liber, I este curentul în fir, dl este vectorul de lungime infinitezimal al elementului curent, r^ este vectorul unitar de la elementul curent la punctul de interes, iar r este distanța dintre elementul curent și punctul de interes.

Pentru a găsi câmpul magnetic total B într-un punct datorat unui fir care parcurge un curent finit, integrăm expresia de mai sus pe întreaga lungime a firului:

B. =4πμ0​​∫r²Idl ×r^​

Exemplu: Câmp magnetic pe axa unei bucle de curent circulare

Să luăm în considerare o buclă circulară cu rază R prin care trece un curent I. Dorim să găsim câmpul magnetic într-un punct P de pe axa buclei, la o distanță x de centrul acesteia.

Folosind legea Biot-Savart, pentru un element de curent infinitezimal Idl pe buclă, distanța r = R² + x² și dl ×r^ are magnitudinea dlsin90∘=dl (deoarece dl este tangentă la buclă și r^ este de-a lungul liniei de la element la punctul P).

Integrând în jurul buclei, obținem:

B=2(R²+x²)²³μ0IR²

În centrul buclei ( x=0 ), B=2Rμ0I .

3.2 Legea lui Ampere

Legea lui Ampere afirmă că integrala liniară a câmpului magnetic B în jurul unei bucle închise este egal cu μ0​ înmulțit cu curentul total Ienc​ cuprins de buclă:

∮B⋅dl =μ0​Ienc​

Legea lui Ampere este foarte utilă pentru calcularea câmpurilor magnetice în situații cu simetrie ridicată, cum ar fi firele lungi și drepte, solenoizii și toroidele.

Exemplu: Câmp magnetic în interiorul unui solenoid lung și drept

Un solenoid este o bobină lungă de sârmă. Pentru un solenoid ideal (infinit de lung și cu o secțiune transversală uniformă), putem folosi legea lui Ampere pentru a calcula câmpul magnetic din interior.

Alegem o buclă amperiană dreptunghiulară cu o latură din interiorul solenoidului paralelă cu axa sa și celelalte laturi perpendiculare pe axă. Câmpul magnetic din exteriorul solenoidului este neglijabil, iar câmpul magnetic din interior este paralel cu axa.

Fie n numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului și I curentul din fir. Curentul total cuprins de bucla amperiană este Ienc​=nIl , unde l este lungimea laturii buclei din interiorul solenoidului.

Din legea lui Ampere ∮B⋅dl =Bl=μ0​nIl , putem rezolva pentru B :

B=μ0​nI

4. Metode de calcul pentru timp - curenți variabili

4.1 Legea lui Faraday privind inducția electromagnetică

Legea lui Faraday afirmă că forța electromotoare ( E ) indusă într-o buclă închisă este egală cu rata negativă de variație a fluxului magnetic ΦB prin buclă:

E=−dtdΦB

unde ΦB = ∫B ⋅dA este fluxul magnetic prin buclă, iar dA este vectorul arie infinitezimal al buclei.

Această lege stă la baza multor dispozitive electrice, cum ar fi generatoarele și transformatoarele.

4.2 Ecuațiile lui Maxwell

Ecuațiile lui Maxwell sunt un set de patru ecuații fundamentale care descriu comportamentul câmpurilor electrice și magnetice. Pentru câmpurile magnetice, două dintre ecuațiile relevante sunt:

• Legea lui Gauss pentru magnetism : ∮B⋅dA=0
  Această ecuație afirmă că nu există monopoli magnetici (sarcini magnetice izolate), iar fluxul magnetic net prin orice suprafață închisă este zero.
• Legea Ampere-Maxwell : ∮B⋅dl =μ0(Ienc+ϵ0dtdΦE)
  Aceasta este o formă extinsă a legii lui Ampere, care ia în considerare curentul de deplasare ϵ0​dtdΦE​​ , unde ΦE​ este fluxul electric prin bucla amperiană.

5. Câmpuri magnetice în materiale magnetice

Când un material magnetic este plasat într-un câmp magnetic extern, materialul se magnetizează, iar câmpul magnetic total din interiorul materialului este suma dintre câmpul magnetic extern și câmpul magnetic datorat magnetizării materialului.

Magnetizarea M al unui material este definit ca momentul magnetic pe unitatea de volum. Relația dintre B , H și M. este B =μ0​(H+M ) .

Pentru materiale magnetice liniare, M =χm​H , unde χm​ este susceptibilitatea magnetică a materialului. Atunci B =μH , unde μ=μ0​(1+χm​) este permeabilitatea magnetică a materialului.

6. Metode numerice pentru calcularea câmpului magnetic

În geometrii complexe unde soluțiile analitice sunt dificil sau imposibil de obținut, metodele numerice precum metoda elementului finit (FEM) și metoda elementului la limită (BEM) sunt utilizate pe scară largă.

6.1 Metoda Elementului Finit (MEF)

Mecanismul cu elemente finite (MEF) împarte regiunea de interes într-un număr mare de elemente mici (de exemplu, triunghiuri sau tetraedre în 2D și respectiv 3D). Câmpul magnetic este aproximat în cadrul fiecărui element folosind funcții simple (de exemplu, polinoame liniare sau pătratice). Prin aplicarea ecuațiilor guvernante (cum ar fi ecuațiile lui Maxwell) fiecărui element și impunerea condițiilor la limită, se formează un sistem de ecuații liniare, care poate fi rezolvat pentru a obține distribuția câmpului magnetic în întreaga regiune.

6.2 Metoda Elementului de Limită (MEF)

Metoda BEM se bazează pe forma integrală a ecuațiilor guvernante. Necesită doar discretizarea limitelor regiunii, nu a întregului volum. Acest lucru poate duce la o reducere a numărului de necunoscute în comparație cu metoda elementelor finite (MEF), în special pentru problemele cu domenii infinite sau semi-infinite. Cu toate acestea, MEB poate fi mai complex pentru problemele cu materiale neliniare sau câmpuri variabile în timp.

7. Aplicații

7.1 Inginerie electrică

În mașinile electrice, cum ar fi motoarele, generatoarele și transformatoarele, calcularea precisă a câmpurilor magnetice este esențială pentru optimizarea performanței, eficienței și reducerea pierderilor acestora. De exemplu, într-un motor, câmpul magnetic interacționează cu conductorii care transportă curentul pentru a produce cuplu, iar înțelegerea distribuției câmpului magnetic ajută la proiectarea geometriei motorului și a configurației înfășurărilor.

7.2 Imagistică medicală

Imagistica prin rezonanță magnetică (IRM) este o tehnică de imagistică medicală neinvazivă care se bazează pe interacțiunea câmpurilor magnetice cu spinii nucleari ai atomilor din corpul uman. Calculul câmpurilor magnetice statice și de radiofrecvență într-un scaner IRM este crucial pentru obținerea de imagini de înaltă calitate și asigurarea siguranței pacientului.

7.3 Acceleratoare de particule

În acceleratoarele de particule, câmpurile magnetice sunt utilizate pentru a ghida și focaliza particulele încărcate de-a lungul traiectoriilor lor. Proiectarea și calcularea acestor câmpuri magnetice sunt esențiale pentru obținerea proprietăților dorite ale fasciculului de particule, cum ar fi energia, intensitatea și divergența.

8. Concluzie

Calculul câmpurilor magnetice este un aspect fundamental al electromagnetismului, cu aplicații largi în diverse domenii. De la principiile de bază ale legii Biot-Savart și ale legii lui Ampere pentru curenții staționari, până la ecuațiile mai complexe ale lui Maxwell pentru câmpuri variabile în timp și luarea în considerare a materialelor magnetice și a metodelor numerice, o înțelegere cuprinzătoare a calculului câmpului magnetic este necesară pentru avansarea tehnologiei și a cercetării științifice. Pe măsură ce tehnologia continuă să evolueze, vor apărea probabil noi metode și tehnici de calculare și manipulare a câmpurilor magnetice, deschizând noi posibilități în domenii precum calculul cuantic, nanotehnologia și explorarea spațiului.