Berekening van het magnetische veld
1. Inleiding
Magnetische velden zijn alomtegenwoordig in de fysieke wereld en spelen een cruciale rol in diverse verschijnselen, variërend van het gedrag van elementaire deeltjes tot de werking van grootschalige elektrische apparaten. Kennis van het berekenen van magnetische velden is fundamenteel in de natuurkunde, techniek en vele toegepaste wetenschappen. Deze tekst gaat dieper in op de principes, formules en methoden voor het berekenen van magnetische velden in verschillende scenario's.
2. Basisconcepten
2.1 Magnetische veldvectoren
Het magnetische veld is een vectorveld, wat betekent dat er op elk punt in de ruimte een welbepaalde richting en grootte aan het magnetische veld verbonden is. We gebruiken doorgaans twee hoofdvectoren om magnetische velden te beschrijven: de magnetische fluxdichtheid en de magnetische veldsterkte .
- Magnetische fluxdichtheid ( ) : Het geeft de kracht per eenheid stroom - lengte weer die inwerkt op een stroomvoerende geleider die zich in het magnetische veld bevindt. De SI-eenheid van is de tesla (T), waarbij .
- Magnetische veldsterkte ( ) : Het heeft betrekking op de vrije stroom in een gebied en wordt gebruikt om de berekening van magnetische velden in aanwezigheid van magnetische materialen te vereenvoudigen. De SI-eenheid van is de ampère per meter (A/m). De relatie tussen wordt gegeven door , waarbij de magnetische permeabiliteit van het medium is. In vacuüm geldt: .
2.2 Bronnen van magnetische velden
De belangrijkste bronnen van magnetische velden zijn elektrische stromen. Een bewegende lading (stroom) creëert een magnetisch veld eromheen. Er zijn twee hoofdtypen stroomverdelingen: constante stromen en tijdsafhankelijke stromen. Voor constante stromen kunnen we de wet van Ampère en de wet van Biot-Savart gebruiken om het magnetische veld te berekenen, terwijl we voor tijdsafhankelijke stromen rekening moeten houden met de wet van Faraday over elektromagnetische inductie en de vergelijkingen van Maxwell.
3. Berekeningsmethoden voor stationaire stromen
3.1 Biot - Savart Law
De wet van Biot-Savart geeft het magnetische veld geproduceerd door een infinitesimaal stroomelement op een punt in de ruimte. De formule is:
waarbij de permeabiliteit van de vrije ruimte is, de stroom in de draad, is de infinitesimale lengtevector van het huidige element, is de eenheidsvector van het huidige element naar het aandachtspunt, en is de afstand tussen het huidige element en het aandachtspunt.
Om het totale magnetische veld te vinden op een punt ten gevolge van een eindige stroomvoerende draad integreren we de bovenstaande uitdrukking over de gehele lengte van de draad:
Voorbeeld: Magnetisch veld op de as van een cirkelvormige stroomlus
Beschouw een cirkelvormige lus met straal waar een stroom doorheen stroomt. We willen het magnetische veld vinden in een punt op de as van de lus, op een afstand van het midden van de lus.
Met behulp van de wet van Biot-Savart voor een infinitesimaal stroomelement op de lus is de afstand heeft een magnitude (aangezien raakt aan de lus en ligt langs de lijn van het element naar het punt ).
Door rond de lus te integreren, verkrijgen we:
In het midden van de lus ( ) geldt .
3.2 Wet van Ampère
De wet van Ampère stelt dat de lijnintegraal van het magnetische veld rond een gesloten lus is gelijk aan maal de totale stroom door de lus wordt omsloten:
De wet van Ampère is erg handig voor het berekenen van magnetische velden in situaties met een hoge symmetrie, zoals lange rechte draden, solenoïden en toroïden.
Voorbeeld: Magnetisch veld in een lange rechte solenoïde
Een solenoïde is een lange draadspoel. Voor een ideale solenoïde (oneindig lang en met een gelijkmatige doorsnede) kunnen we de wet van Ampère gebruiken om het magnetische veld binnenin te berekenen.
We kiezen een rechthoekige Amperiaanse lus met één zijde binnen de solenoïde parallel aan de as en de andere zijden loodrecht op de as. Het magnetische veld buiten de solenoïde is verwaarloosbaar en het magnetische veld binnenin is parallel aan de as.
Laat het aantal windingen per lengte-eenheid van de solenoïde zijn en de stroomsterkte in de draad. De totale stroomsterkte die door de Amperiaanse lus wordt omsloten, is , waarbij de lengte is van de zijde van de lus in de solenoïde.
Van de wet van Ampère , we kunnen oplossen voor :
4. Berekeningsmethoden voor tijd - Variërende stromen
4.1 Wet van Faraday over elektromagnetische inductie
De wet van Faraday stelt dat de elektromotorische kracht ( ) die in een gesloten lus wordt geïnduceerd, gelijk is aan de negatieve veranderingssnelheid van de magnetische flux door de lus:
waarbij is de magnetische flux door de lus, en is de infinitesimale oppervlaktevector van de lus.
Deze wet vormt de basis voor veel elektrische apparaten, zoals generatoren en transformatoren.
4.2 Maxwell's vergelijkingen
De vergelijkingen van Maxwell zijn een verzameling van vier fundamentele vergelijkingen die het gedrag van elektrische en magnetische velden beschrijven. Voor magnetische velden zijn twee van de relevante vergelijkingen:
- Wet van Gauss voor magnetisme :
Deze vergelijking stelt dat er geen magnetische monopolen (geïsoleerde magnetische ladingen) zijn en dat de netto magnetische flux door een willekeurig gesloten oppervlak nul is. - Ampère - Wet van Maxwell :
Dit is een uitgebreide vorm van de wet van Ampère, die rekening houdt met de verplaatsingsstroom , waarbij de elektrische flux door de Ampère-lus is.
5. Magnetische velden in magnetische materialen
Wanneer magnetisch materiaal in een extern magnetisch veld wordt geplaatst, wordt het materiaal gemagnetiseerd. Het totale magnetische veld in het materiaal is de som van het externe magnetische veld en het magnetische veld als gevolg van de magnetisatie van het materiaal.
De magnetisatie van een materiaal wordt gedefinieerd als het magnetisch moment per volume-eenheid. De relatie tussen , , is .
Voor lineaire magnetische materialen, , waarbij de magnetische susceptibiliteit van het materiaal is. Dan is , waarbij de magnetische permeabiliteit van het materiaal is.
6. Numerieke methoden voor magnetische veldberekening
Bij complexe geometrieën waarbij analytische oplossingen moeilijk of onmogelijk te verkrijgen zijn, worden numerieke methoden zoals de eindige-elementenmethode (FEM) en de grens-elementenmethode (BEM) veelvuldig gebruikt.
6.1 Eindige Elementenmethode (FEM)
De FEM verdeelt het interessegebied in een groot aantal kleine elementen (bijv. driehoeken of tetraëders in respectievelijk 2D en 3D). Het magnetische veld binnen elk element wordt benaderd met behulp van eenvoudige functies (bijv. lineaire of kwadratische polynomen). Door de bepalende vergelijkingen (zoals de vergelijkingen van Maxwell) op elk element toe te passen en de randvoorwaarden te handhaven, ontstaat een stelsel van lineaire vergelijkingen, dat kan worden opgelost om de verdeling van het magnetische veld over het hele gebied te verkrijgen.
6.2 Boundary Element Method (BEM)
De BEM is gebaseerd op de integrale vorm van de bepalende vergelijkingen. Het vereist alleen discretisatie van de grenzen van het gebied, in plaats van het gehele volume. Dit kan leiden tot een vermindering van het aantal onbekenden ten opzichte van de FEM, met name bij problemen met oneindige of semi-oneindige domeinen. De BEM kan echter complexer zijn bij problemen met niet-lineaire materialen of tijdsvariërende velden.
7. Toepassingen
7.1 Elektrotechniek
Bij elektrische machines zoals motoren, generatoren en transformatoren is een nauwkeurige berekening van magnetische velden essentieel om hun prestaties en efficiëntie te optimaliseren en verliezen te verminderen. In een motor bijvoorbeeld werkt het magnetische veld samen met de stroomvoerende geleiders om koppel te genereren. Inzicht in de verdeling van het magnetische veld helpt bij het ontwerpen van de geometrie en wikkelingsconfiguratie van de motor.
7.2 Medische beeldvorming
Magnetic resonance imaging (MRI) is een niet-invasieve medische beeldvormingstechniek die gebaseerd is op de interactie van magnetische velden met de kernspins van atomen in het menselijk lichaam. Het berekenen van de statische en radiofrequente magnetische velden in een MRI-scanner is cruciaal voor het verkrijgen van hoogwaardige beelden en het waarborgen van de veiligheid van de patiënt.
7.3 Deeltjesversnellers
In deeltjesversnellers worden magnetische velden gebruikt om geladen deeltjes langs hun traject te geleiden en te focussen. Het ontwerp en de berekening van deze magnetische velden zijn essentieel voor het bereiken van de gewenste eigenschappen van de deeltjesbundel, zoals energie, intensiteit en divergentie.
8. Conclusie
Het berekenen van magnetische velden is een fundamenteel aspect van elektromagnetisme met een breed scala aan toepassingen in diverse vakgebieden. Van de basisprincipes van de wet van Biot-Savart en de wet van Ampère voor constante stromen tot de complexere vergelijkingen van Maxwell voor tijdsvariërende velden, en de beschouwing van magnetische materialen en numerieke methoden, is een diepgaand begrip van de berekening van magnetische velden noodzakelijk voor de ontwikkeling van technologie en wetenschappelijk onderzoek. Naarmate de technologie zich verder ontwikkelt, zullen er waarschijnlijk nieuwe methoden en technieken voor het berekenen en manipuleren van magnetische velden ontstaan, wat nieuwe mogelijkheden biedt op gebieden zoals quantumcomputing, nanotechnologie en ruimtevaart.
