Senz Magnet - Global Permanent Magnets Material Manufacturer & Leverantör under 20 år.
Beräkning av magnetfält
1. Introduktion
Magnetfält är allestädes närvarande i den fysiska världen och spelar en avgörande roll i olika fenomen, från elementarpartiklars beteende till storskaliga elektriska apparaters funktion. Att förstå hur man beräknar magnetfält är grundläggande inom fysik, teknik och många tillämpade vetenskaper. Denna text kommer att fördjupa sig i principer, formler och metoder för att beräkna magnetfält i olika scenarier.
2. Grundläggande begrepp
2.1 Magnetiska fältvektorer
Magnetfältet är ett vektorfält, vilket innebär att det i varje punkt i rymden finns en väldefinierad riktning och magnitud associerad med magnetfältet. Vi använder vanligtvis två huvudvektorer för att beskriva magnetfält: den magnetiska flödestätheten och magnetfältets intensitet .
- Magnetisk flödestäthet ( ) : Den representerar kraften per strömlängdsenhet som verkar på en strömförande ledare placerad i magnetfältet. SI-enheten för är tesla (T), där .
- Magnetfältets intensitet ( ) : Den är relaterad till den fria strömmen i ett område och används för att förenkla beräkningen av magnetfält i närvaro av magnetiska material. SI-enheten för är ampere per meter (A/m). Sambandet mellan och ges av , där är mediets magnetiska permeabilitet. I vakuum .
2.2 Källor till magnetfält
De primära källorna till magnetfält är elektriska strömmar. En rörlig laddning (ström) skapar ett magnetfält runt sig. Det finns två huvudtyper av strömfördelningar: konstanta strömmar och tidsvarierande strömmar. För konstanta strömmar kan vi använda Amperes lag och Biot-Savarts lag för att beräkna magnetfältet, medan vi för tidsvarierande strömmar behöver beakta Faradays lag för elektromagnetisk induktion och Maxwells ekvationer.
3. Beräkningsmetoder för stationära strömmar
3.1 Biot-Savart-lagen
Biot-Savarts lag ger magnetfältet producerad av ett infinitesimalt strömelement vid en punkt i rymden. Formeln är:
där är permeabiliteten i det fria utrymmet, är strömmen i ledningen, är den infinitesimala längdvektorn för det aktuella elementet, är enhetsvektorn från det aktuella elementet till den aktuella punkten, och är avståndet mellan det aktuella elementet och den aktuella punkten.
För att hitta det totala magnetfältet vid en punkt på grund av en ändlig strömförande tråd integrerar vi ovanstående uttryck över trådens hela längd:
Exempel: Magnetfält på axeln i en cirkulär strömslinga
Betrakta en cirkulär slinga med radien som bär en ström Vi vill hitta magnetfältet vid en punkt på slingans axel på ett avstånd från slingans centrum.
Med hjälp av Biot-Savarts lag, för ett infinitesimalt strömelement på slingan är avståndet har en magnitud (eftersom är tangent till slingan och är längs linjen från elementet till punkten ).
Genom att integrera runt loopen får vi:
I mitten av loopen ( ), .
3.2 Amperes lag
Amperes lag säger att den linjära integralen av magnetfältet runt en sluten slinga är lika med gånger den totala strömmen som omges av slingan:
Amperes lag är mycket användbar för att beräkna magnetfält i situationer med hög symmetri, såsom långa raka ledningar, solenoider och toroider.
Exempel: Magnetfält inuti en lång rak solenoid
En solenoid är en lång trådspiral. För en ideal solenoid (oändligt lång och med ett likformigt tvärsnitt) kan vi använda Amperes lag för att beräkna magnetfältet inuti.
Vi väljer en rektangulär amperisk slinga med ena sidan inuti solenoiden parallell med dess axel och de andra sidorna vinkelräta mot axeln. Magnetfältet utanför solenoiden är försumbart, och magnetfältet inuti är parallellt med axeln.
Låt vara antalet varv per längdenhet av solenoiden och vara strömmen i ledningen. Den totala strömmen som innesluts av den amperiska slingan är , där är längden på slingans sida inuti solenoiden.
Från Amperes lag , vi kan lösa för :
4. Beräkningsmetoder för tid - varierande strömmar
4.1 Faradays lag för elektromagnetisk induktion
Faradays lag säger att den elektromotoriska kraften ( ) som induceras i en sluten slinga är lika med den negativa förändringshastigheten för det magnetiska flödet genom slingan:
där är det magnetiska flödet genom slingan, och är slingans infinitesimala areavektor.
Denna lag är grunden för många elektriska apparater som generatorer och transformatorer.
4.2 Maxwells ekvationer
Maxwells ekvationer är en uppsättning av fyra grundläggande ekvationer som beskriver hur elektriska och magnetiska fält beter sig. För magnetfält är två av de relevanta ekvationerna:
- Gauss lag för magnetism :
Denna ekvation säger att det inte finns några magnetiska monopoler (isolerade magnetiska laddningar), och det magnetiska nettoflödet genom en sluten yta är noll. - Ampere-Maxwells lag :
Detta är en utökad form av Amperes lag, som tar hänsyn till förskjutningsströmmen , där är det elektriska flödet genom den amperiska slingan.
5. Magnetfält i magnetiska material
När ett magnetiskt material placeras i ett externt magnetfält magnetiseras materialet, och det totala magnetfältet inuti materialet är summan av det externa magnetfältet och magnetfältet på grund av materialets magnetisering.
Magnetiseringen för ett material definieras som det magnetiska momentet per volymenhet. Sambandet mellan , och är .
För linjära magnetiska material, , där är materialets magnetiska susceptibilitet. Då , där är materialets magnetiska permeabilitet.
6. Numeriska metoder för beräkning av magnetfält
I komplexa geometrier där analytiska lösningar är svåra eller omöjliga att erhålla används numeriska metoder som finita elementmetoden (FEM) och randelementmetoden (BEM) i stor utsträckning.
6.1 Finita elementmetoden (FEM)
FEM delar upp det intressanta området i ett stort antal små element (t.ex. trianglar eller tetraedrar i 2D respektive 3D). Magnetfältet approximeras inom varje element med hjälp av enkla funktioner (t.ex. linjära eller kvadratiska polynom). Genom att tillämpa de styrande ekvationerna (såsom Maxwells ekvationer) på varje element och genom att tillämpa randvillkoren bildas ett system av linjära ekvationer, som kan lösas för att erhålla magnetfältsfördelningen i hela området.
6.2 Gränselementmetoden (BEM)
BEM är baserad på integralformen av de styrande ekvationerna. Den kräver endast diskretisering av regionens gränser, snarare än hela volymen. Detta kan leda till en minskning av antalet okända jämfört med FEM, särskilt för problem med oändliga eller semi-oändliga domäner. BEM kan dock vara mer komplex för problem med icke-linjära material eller tidsvarierande fält.
7. Tillämpningar
7.1 Elektroteknik
I elektriska maskiner som motorer, generatorer och transformatorer är noggrann beräkning av magnetfält avgörande för att optimera deras prestanda, effektivitet och minska förluster. I en motor interagerar till exempel magnetfältet med de strömförande ledarna för att producera vridmoment, och förståelsen av magnetfältets fördelning hjälper till att utforma motorns geometri och lindningskonfiguration.
7.2 Medicinsk avbildning
Magnetisk resonanstomografi (MRT) är en icke-invasiv medicinsk avbildningsteknik som bygger på interaktionen mellan magnetfält och kärnspinn hos atomer i människokroppen. Beräkningen av de statiska och radiofrekventa magnetfälten i en MR-skanner är avgörande för att få högkvalitativa bilder och säkerställa patientsäkerheten.
7.3 Partikelacceleratorer
I partikelacceleratorer används magnetfält för att styra och fokusera laddade partiklar längs deras banor. Utformningen och beräkningen av dessa magnetfält är nyckeln till att uppnå de önskade partikelstråleegenskaperna, såsom energi, intensitet och divergens.
8. Slutsats
Beräkning av magnetfält är en grundläggande aspekt av elektromagnetism med vitt skilda tillämpningar inom olika områden. Från de grundläggande principerna i Biot-Savarts lag och Amperes lag för konstanta strömmar till de mer komplexa Maxwells ekvationer för tidsvarierande fält, och beaktandet av magnetiska material och numeriska metoder, är en omfattande förståelse av magnetfältsberäkning nödvändig för att främja teknik och vetenskaplig forskning. I takt med att tekniken fortsätter att utvecklas kommer nya metoder och tekniker för att beräkna och manipulera magnetfält sannolikt att dyka upp, vilket öppnar upp nya möjligheter inom områden som kvantberäkning, nanoteknik och rymdutforskning.
