Beregning af magnetfelt
1. Introduktion
Magnetfelter er allestedsnærværende i den fysiske verden og spiller en afgørende rolle i forskellige fænomener, lige fra elementarpartiklers opførsel til driften af store elektriske apparater. Forståelse af, hvordan man beregner magnetfelter, er fundamentalt inden for fysik, ingeniørvidenskab og mange anvendte videnskaber. Denne tekst vil dykke ned i principperne, formlerne og metoderne til beregning af magnetfelter i forskellige scenarier.
2. Grundlæggende begreber
2.1 Magnetiske feltvektorer
Magnetfeltet er et vektorfelt, hvilket betyder, at der på ethvert punkt i rummet er en veldefineret retning og størrelse forbundet med magnetfeltet. Vi bruger typisk to hovedvektorer til at beskrive magnetfelter: den magnetiske fluxtæthed og magnetfeltintensiteten .
- Magnetisk fluxdensitet ( ) : Den repræsenterer kraften pr. strømlængdeenhed, der virker på en strømførende leder placeret i et magnetfelt. SI-enheden for er teslaen (T), hvor .
- Magnetisk feltintensitet ( ) : Det er relateret til den frie strøm i et område og bruges til at forenkle beregningen af magnetfelter i nærvær af magnetiske materialer. SI-enheden for er ampere pr. meter (A/m). Forholdet mellem og er givet af , hvor er mediets magnetiske permeabilitet. I vakuum .
2.2 Kilder til magnetfelter
De primære kilder til magnetfelter er elektriske strømme. En bevægelig ladning (strøm) skaber et magnetfelt omkring sig. Der er to hovedtyper af strømfordelinger: konstante strømme og tidsvarierende strømme. For konstante strømme kan vi bruge Amperes lov og Biot-Savarts lov til at beregne magnetfeltet, mens vi for tidsvarierende strømme skal overveje Faradays lov om elektromagnetisk induktion og Maxwells ligninger.
3. Beregningsmetoder for konstante strømme
3.1 Biot-Savart-loven
Biot-Savarts lov giver magnetfeltet produceret af et infinitesimalt strømelement på et punkt i rummet. Formlen er:
hvor er permeabiliteten af det frie rum, er strømmen i ledningen, er den infinitesimale længdevektor for det aktuelle element, er enhedsvektoren fra det aktuelle element til interessepunktet, og er afstanden mellem det aktuelle element og interessepunktet.
For at finde det samlede magnetfelt I et punkt på grund af en endelig strømførende ledning integrerer vi ovenstående udtryk over hele ledningens længde:
Eksempel: Magnetfelt på aksen i en cirkulær strømsløjfe
Betragt en cirkulær løkke med radius der bærer en strøm Vi ønsker at finde magnetfeltet i et punkt på løkkens akse i en afstand fra løkkens centrum.
Brug af Biot-Savarts lov for et infinitesimalt strømelement på løkken er afstanden har en størrelsesorden (da er tangent til løkken, og er langs linjen fra elementet til punktet ).
Ved at integrere rundt om løkken får vi:
I midten af løkken ( ), .
3.2 Amperes lov
Amperes lov siger, at det lineære integralet af magnetfeltet omkring en lukket sløjfe er lig med gange den samlede strøm omsluttet af sløjfen:
Amperes lov er meget nyttig til beregning af magnetfelter i situationer med høj symmetri, såsom lange lige ledninger, solenoider og toroider.
Eksempel: Magnetfelt inde i en lang, lige solenoid
En solenoid er en lang trådspole. For en ideel solenoid (uendeligt lang og med et ensartet tværsnit) kan vi bruge Amperes lov til at beregne magnetfeltet indeni.
Vi vælger en rektangulær amperisk løkke med den ene side inden i solenoiden parallel med dens akse og de andre sider vinkelret på aksen. Magnetfeltet uden for solenoiden er ubetydeligt, og magnetfeltet indeni er parallelt med aksen.
Lad være antallet af vindinger pr. længdeenhed af solenoiden og være strømmen i ledningen. Den samlede strøm, der er omsluttet af den amperiske sløjfe, er , hvor er længden af siden af sløjfen inde i solenoiden.
Fra Amperes lov , vi kan løse for :
4. Beregningsmetoder for tid - varierende strømme
4.1 Faradays lov om elektromagnetisk induktion
Faradays lov siger, at den elektromotoriske kraft ( ) induceret i et lukket kredsløb er lig med den negative ændringshastighed for den magnetiske flux gennem kredsløbet:
hvor er den magnetiske flux gennem sløjfen, og er den infinitesimale arealvektor af løkken.
Denne lov er grundlaget for mange elektriske apparater såsom generatorer og transformere.
4.2 Maxwells ligninger
Maxwells ligninger er et sæt af fire grundlæggende ligninger, der beskriver elektriske og magnetiske felters opførsel. For magnetiske felter er to af de relevante ligninger:
- Gauss' lov for magnetisme :
Denne ligning siger, at der ikke er nogen magnetiske monopoler (isolerede magnetiske ladninger), og at den netto magnetiske flux gennem enhver lukket overflade er nul. - Ampere-Maxwells lov :
Dette er en udvidet form af Amperes lov, som tager højde for forskydningsstrømmen , hvor er den elektriske flux gennem den amperiske sløjfe.
5. Magnetiske felter i magnetiske materialer
Når et magnetisk materiale placeres i et eksternt magnetfelt, bliver materialet magnetiseret, og det samlede magnetfelt inde i materialet er summen af det eksterne magnetfelt og magnetfeltet på grund af materialets magnetisering.
Magnetiseringen af et materiale er defineret som det magnetiske moment pr. volumenhed. Forholdet mellem , og er .
For lineære magnetiske materialer, , hvor er materialets magnetiske susceptibilitet. Så er , hvor er materialets magnetiske permeabilitet.
6. Numeriske metoder til beregning af magnetfelter
I komplekse geometrier, hvor analytiske løsninger er vanskelige eller umulige at opnå, anvendes numeriske metoder som finite element-metoden (FEM) og randelement-metoden (BEM) i vid udstrækning.
6.1 Finite Element-metoden (FEM)
FEM'en opdeler interesseområdet i et stort antal små elementer (f.eks. trekanter eller tetraedre i henholdsvis 2D og 3D). Magnetfeltet tilnærmes inden for hvert element ved hjælp af simple funktioner (f.eks. lineære eller kvadratiske polynomier). Ved at anvende de styrende ligninger (såsom Maxwells ligninger) på hvert element og håndhæve randbetingelserne dannes et system af lineære ligninger, som kan løses for at opnå magnetfeltfordelingen i hele området.
6.2 Grænseelementmetoden (BEM)
BEM er baseret på integralformen af de styrende ligninger. Den kræver kun diskretisering af områdets grænser i stedet for hele volumenet. Dette kan føre til en reduktion i antallet af ubekendte sammenlignet med FEM, især for problemer med uendelige eller semi-uendelige domæner. BEM kan dog være mere kompleks for problemer med ikke-lineære materialer eller tidsvarierende felter.
7. Anvendelser
7.1 Elektroteknik
I elektriske maskiner såsom motorer, generatorer og transformere er nøjagtig beregning af magnetfelter afgørende for at optimere deres ydeevne, effektivitet og reducere tab. For eksempel interagerer magnetfeltet i en motor med de strømførende ledere for at producere drejningsmoment, og forståelse af magnetfeltfordelingen hjælper med at designe motorens geometri og viklingskonfiguration.
7.2 Medicinsk billeddannelse
Magnetisk resonansbilleddannelse (MRI) er en ikke-invasiv medicinsk billeddannelsesteknik, der er baseret på interaktionen mellem magnetfelter og atomernes kernespins i menneskekroppen. Beregningen af de statiske og radiofrekvente magnetfelter i en MR-scanner er afgørende for at opnå billeder af høj kvalitet og sikre patientsikkerhed.
7.3 Partikelacceleratorer
I partikelacceleratorer bruges magnetfelter til at styre og fokusere ladede partikler langs deres baner. Design og beregning af disse magnetfelter er nøglen til at opnå de ønskede partikelstråleegenskaber, såsom energi, intensitet og divergens.
8. Konklusion
Beregning af magnetfelter er et fundamentalt aspekt af elektromagnetisme med vidtrækkende anvendelser inden for forskellige områder. Fra de grundlæggende principper i Biot-Savarts lov og Amperes lov for konstante strømme til de mere komplekse Maxwells ligninger for tidsvarierende felter, og overvejelsen af magnetiske materialer og numeriske metoder, er en omfattende forståelse af magnetfeltberegning nødvendig for at fremme teknologi og videnskabelig forskning. Efterhånden som teknologien fortsætter med at udvikle sig, vil nye metoder og teknikker til beregning og manipulation af magnetfelter sandsynligvis dukke op, hvilket åbner op for nye muligheder inden for områder som kvanteberegning, nanoteknologi og rumforskning.
